Zunächst mal vielen Dank an alle, die sich mit unserer 1. Aufgabe beschäftigt haben, besonders natürlich an diejenigen, die ihre Ideen und Lösungsansätze hier zur Diskussion gestellt haben!
Da es langsam in den Kommentaren recht unübersichtlich wird und wir ja inzwischen die Aufgabe gelöst haben, möchte ich hier eine kurze Zusammenfassung geben und vielleicht einige verwandte Probleme ansprechen.
Wir haben also alle Zahlen von 50 bis 60 in Summen von Quadratzahlen mit minimaler Summandenzahl zerlegt, dabei stammen die Zerlegungen von 50 und 51 von Martin, die anderen von Sascha. Die erste Zerlegung von 2011 in eine Summe aus vier Quadratzahlen hat Paula geliefert.
Mirko hat ein Java-Programm geschrieben, daß für gegebene Zahlen alle Darstellungen als Summe von maximal vier Quadratzahlen ausgibt. Wer sich das noch nicht angeschaut hat, findet das Programm hier. Den Quelltext stellt Mirko dankenswerterweise auf Anfrage per Email zur Verfügung.
Sascha hat auch sehr schön begründet, wie man über die Betrachtung der möglichen Reste von Quadratzahlen bei Division durch 4 die Mindestanzahl von erforderlichen Summanden abschätzen kann. Genauer kann man zeigen: Eine beliebige natürliche Zahl n ist genau dann als Summe zweier Quadrate darstellbar, wenn in der Primfaktorzerlegung von n alle Primzahlen, die bei Division durch 4 den Rest 3 lassen, in gerader Vielfachheit vorkommen. So lassen sich also 50=2*5^2=7^2+1^2, 52=2^2*13= 6^2+4^2, 53=53=7^2+2^2, 58=2*29=7^2+3^2 als Summe von zwei Quadratzahlen darstellen, 51=3*17, 54=2*3^3, 55=5*11, 56=2^3*7, 57=3*19, 59=59 und 60=2^2*3*5 aber nicht, da die Primfaktoren 3,7 und 11 den Rest 3 bei Division durch 4 lassen.
Warum ist bei diesen Zerlegungen in SUMMEN von Quadraten eigentlich die PrimFAKTORzerlegung wichtig? Der Grund ist, daß man aus einer Darstellung der Faktoren einer Zahl als Summe von zwei Quadratzahlen auch eine des Produktes erhält. Dies sieht man an der Formel
die man durch Ausmultiplizieren überprüfen kann. So erhält man zum Beispiel aus den Zerlegungen 2=1^2+1^2 und 29=5^2+2^2 die Zerlegung
Wir haben auch vom Vier-Quadrate-Satz von Lagrange gehört, der besagt, daß jede natürliche Zahl n sich als Summe von maximal vier Quadratzahlen schreiben läßt. Grundlage einiger Beweise ist eine ähnliche Darstellung von Produkten zweier Summen aus vier Quadratzahlen als Summe von vier Quadratzahlen. Sie stammt von Euler und kann hier bewundert werden. Damit hat man das Problem wieder auf die Zerlegung von Primzahlen als Summen von (maximal) vier Quadratzahlen zurückgeführt. Wir wissen schon, daß die Primzahlen, die den Rest 3 bei Division durch 4 lassen, die einzigen sind, die eventuell Schwierigkeiten machen könnten. Und diese Schwierigkeiten muß man überwinden, wenn man den Satz von Lagrange beweisen will.
Das Problem der Zerlegung in Summen von Quadratzahlen hat die folgende offensichtliche Verallgemeinerung: Sei k eine gegebene feste natürliche Zahl. Gibt es dann eine Zahl g(k) so daß man jede natürliche Zahl als Summe von maximal g(k) k-ten Potenzen schreiben kann? Wir haben das Problem für k=2 betrachtet und wissen daß g(2)=4 gewählt werden kann. Das allgemeine Problem ist bekannt als Waringsches Problem und hat eine positive Lösung. Man kann sogar eine Formel für das minimale g(k) angeben, g(3) ist 9 und g(4) ist 19.
Mathematisch noch interessanter und auch weitgehend ungelöst ist die Frage nach dem kleinsten G(k) so daß sich jede GENÜGEND GROSSE natürliche Zahl als Summe von maximal G(k) k-ten Potenzen darstellen läßt. Man läßt also endlich viele Ausnahmen zu. Für k=2 bleibt alles beim alten, G(2)=4. Aber schon für k=3 weiß man nur Es gibt Grund zu der Annahme, daß G(3)=4 ist und es wird ebenfalls vermutet, daß 7373170279850 die größte natürliche Zahl ist, die nicht als Summe von vier dritten Potenzen darstellbar ist …. oh wie gemein, Mirko, entschuldige bitte, daß ich zufällig gerade nach dieser Zahl gefragt habe. Die Referenz von Andre ist eine sehr interessante Arbeit. Aber das führt uns jetzt zu weit.
Bald gibt es die nächste Aufgabe, die wird geometrisch sein.
Euer AlephBethGimel.
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