Die 3. Aufgabe – Springerzüge

6. Februar 2011

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Unsere dritte Aufgabe:

Paulina und Maximilian spielen gern Schach und der Springer interessiert sie besonders. Er ist der einzige, der „um die Ecke“ springen kann. Seine Bewegung erfolgt vom Ausgangsfeld immer zwei Felder geradeaus und dann ein Feld links oder rechts davon auf sein Zielfeld. Kann der Springer damit jedes Feld des Schachbretts erreichen?

Mögliche Züge eines Springers

Springerzüge

Paulina probiert zunächst auf einem kleinen Ausschnitt des Schachbretts. Sie versucht auf einem 4×5-Brett mit dem Springer alle Felder so zu durchlaufen, dass jedes genau einmal betreten wird. Geht das? Kannst Du eine Lösung finden?

Nun wagt sie sich an das 8×8-Schachbrett. Sie stellt den Springer in die linke obere Ecke. Von hier aus soll er jedes Feld des Schachbretts genau einmal betreten und in der rechten unteren Ecke mit seiner Bewegung enden. Nach mehreren Fehlversuchen fragt sie sich, ob das überhaupt möglich ist. Kannst Du ihr helfen?

Maximilian denkt schon über allgemeinere Springerzüge nach. Er betrachtet einen (m,n)-Springer, der von seinem Ausgangsfeld erst m Felder geradeaus und dann n Felder nach rechts oder links geht. Der Springer im Schach ist also ein (2,1)-Springer. Er glaubt, dass man mit einem (2,3)-Springer nicht alle Felder eines 7xn-Brettes durchlaufen kann. Was denkst du?

Beide ahnen schon, dass es zu einer Lebensaufgabe werden könnte, alle Fälle zu durchdenken – aber Spaß macht es ihnen. Du kannst auch weitere Fälle erproben und beweisen, dann dauert es doch nicht ein Leben lang für die beiden:)

Es gibt wieder eine Jubiläumspostkarte mit der Aufgabe. Diese wird auch an den Schulen verteilt. Fragt ruhig eure Lehrer danach! Selbst ausdrucken ist natürlich erlaubt.

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Die 2. Aufgabe – Diagonalenschnittpunkte

8. Dezember 2010

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Hier ist nun unsere zweite Aufgabe:

Maximilian hat auf ein Blatt einige konvexe Fünfecke mit allen Diagonalen gezeichnet. Ein Fünfeck heißt konvex, wenn alle seine Diagonalen im Inneren liegen. Er stellt fest, dass die Anzahl der Schnittpunkte der Diagonalen der Fünfecke immer gleich ist. Welche Anzahl ist das und warum ist es immer die gleiche?Als Maximilian Paulina von den Fünfecken erzählt, zeichnet Sie konvexe Sechsecke. Sie stellt fest, dass es mehrere Möglichkeiten für die Anzahl der Diagonalenschnittpunkte gibt. Welche sind das?

Als sie die Antwort gefunden haben, fragen sie sich, welche Anzahl von Diagonalenschnittpunkten es in einem konvexen n-Eck geben kann. Kannst Du ihnen helfen? Vielleicht fängst du erst einmal mit dem regulären n-Eck an. Wie viele Diagonalenschnittpunkte gibt es im regulären n-Eck? Die Frage nach der Anzahl der Diagonalenschnittpunkte in einem beliebigen n-Eck hat es in sich, merkt Maximilian. Er schlägt uns vor, erst einmal die maximal mögliche Anzahl an Schnittpunkten für ein gegebenes n zu bestimmten?

Ziel ist, gemeinsam Lösungen zu finden. Schreibt einfach eure Ideen, Lösungsansätze, Nachfragen usw. als Kommentar auf. Zu den Kommentaren kommt ihr hier. Und wenn wir die Aufgabe gelöst haben, können wir über Verallgemeinerungen und ähnliche Probleme diskutieren.

Als kleine Motivation hier ein Bild vom regelmäßigen Zwölfeck mit allen Diagonalen und Diagonalenschnittpunkten. Wer schafft es, die Diagonalenschnittpunkte (richtig) zu zählen?

Reguläres Zwölfeck mit allen Diagonalen

Hier ist wieder ein Bild von unserer Jubiläumspostkarte mit der Aufgabe. Diese werden ab Ende dieser Woche in  den Schulen verteilt. Fragt ruhig eure Lehrer danach! Selbst ausdrucken ist natürlich auch erlaubt.


Die zweite Aufgabe kommt!

7. Dezember 2010

Wir werden die zweite Aufgabe für unseren „Wir rechnen mit Dir“-Blog hier am 8. Dezember 2010 veröffentlichen. Wir haben wieder Postkarten gedruckt, die ab diesem Datum über die Schulen verteilt werden. Sichert euch diese Sammlerstücke, Kultstatus ist garantiert!

Also bis dann,

EuerAlephBethGimel.

Zusammenfassung der Diskussion zur 1. Aufgabe

17. November 2010

Zunächst mal vielen Dank an alle, die sich mit unserer 1. Aufgabe beschäftigt haben, besonders natürlich an diejenigen, die ihre Ideen und Lösungsansätze hier zur Diskussion gestellt haben!

Da es langsam in den Kommentaren recht unübersichtlich wird und wir ja inzwischen die Aufgabe gelöst haben, möchte ich hier eine kurze Zusammenfassung geben und vielleicht einige verwandte Probleme ansprechen.

Wir haben also alle Zahlen von 50 bis 60 in Summen von Quadratzahlen mit minimaler Summandenzahl zerlegt, dabei stammen die Zerlegungen von 50 und 51 von Martin, die anderen von Sascha. Die erste Zerlegung von 2011 in eine Summe aus vier Quadratzahlen hat Paula geliefert.

Mirko hat ein Java-Programm geschrieben, daß für gegebene Zahlen alle Darstellungen als Summe von maximal vier Quadratzahlen ausgibt. Wer sich das noch nicht angeschaut hat, findet das Programm hier. Den Quelltext stellt Mirko dankenswerterweise auf Anfrage per Email zur Verfügung.

Sascha hat auch sehr schön begründet, wie man über die Betrachtung der möglichen Reste von Quadratzahlen bei Division durch 4 die Mindestanzahl von erforderlichen Summanden abschätzen kann. Genauer kann man zeigen: Eine beliebige natürliche Zahl n ist genau dann als Summe zweier Quadrate darstellbar, wenn in der Primfaktorzerlegung von n alle Primzahlen, die bei Division durch 4 den Rest 3 lassen,  in gerader Vielfachheit vorkommen. So lassen sich also 50=2*5^2=7^2+1^2,  52=2^2*13= 6^2+4^2, 53=53=7^2+2^2,  58=2*29=7^2+3^2 als Summe von zwei Quadratzahlen darstellen, 51=3*17,  54=2*3^3, 55=5*11, 56=2^3*7, 57=3*19, 59=59 und 60=2^2*3*5 aber nicht, da die Primfaktoren 3,7 und 11 den Rest 3 bei Division durch 4 lassen.

Warum ist bei diesen Zerlegungen in SUMMEN von Quadraten eigentlich die PrimFAKTORzerlegung wichtig? Der Grund ist, daß man aus einer Darstellung der Faktoren einer Zahl als Summe von zwei Quadratzahlen auch eine des Produktes erhält. Dies sieht man an der Formel

( a^2+b^2) (c^2+d^2) = (ac+bd)^2 + (ad-bc)^2

die man durch Ausmultiplizieren überprüfen kann. So erhält  man zum Beispiel aus den Zerlegungen 2=1^2+1^2 und 29=5^2+2^2 die Zerlegung

58 = 2\cdot 29=( 1^2+1^2) (5^2+2^2)=

= (1\cdot 5+1\cdot 2)^2 + (1\cdot 2-1\cdot 5)^2=7^2+3^2.

Wir haben auch vom Vier-Quadrate-Satz von Lagrange gehört, der besagt, daß jede natürliche Zahl n sich als Summe von maximal vier Quadratzahlen schreiben läßt. Grundlage einiger Beweise ist eine ähnliche Darstellung von Produkten zweier Summen aus vier Quadratzahlen als Summe von vier Quadratzahlen. Sie stammt von Euler und kann hier bewundert werden.  Damit hat man das Problem wieder auf die Zerlegung von Primzahlen als Summen von (maximal)  vier Quadratzahlen zurückgeführt. Wir wissen schon, daß die Primzahlen, die den Rest 3 bei Division durch 4 lassen, die einzigen sind, die eventuell Schwierigkeiten machen könnten. Und diese Schwierigkeiten muß man überwinden, wenn man den Satz von Lagrange beweisen will.

Das Problem der Zerlegung in Summen von Quadratzahlen hat die folgende offensichtliche Verallgemeinerung: Sei k eine gegebene feste natürliche Zahl. Gibt es dann eine Zahl g(k) so daß man jede natürliche Zahl als Summe von maximal g(k) k-ten Potenzen schreiben kann? Wir haben das Problem für k=2 betrachtet und wissen daß g(2)=4 gewählt werden kann. Das allgemeine Problem ist bekannt als Waringsches Problem und hat eine positive Lösung. Man kann sogar eine Formel für das minimale g(k) angeben, g(3) ist 9 und g(4) ist 19.

Mathematisch noch interessanter und auch weitgehend ungelöst ist die Frage nach dem kleinsten G(k) so daß sich jede GENÜGEND GROSSE natürliche Zahl als Summe von maximal G(k) k-ten Potenzen darstellen läßt. Man läßt also endlich viele Ausnahmen zu. Für k=2 bleibt alles beim alten, G(2)=4. Aber schon für k=3 weiß man nur 4 \le G(3) \le 7. Es gibt Grund zu der Annahme, daß G(3)=4 ist und es wird ebenfalls vermutet, daß 7373170279850 die größte natürliche Zahl ist, die nicht als Summe von vier dritten Potenzen darstellbar ist …. oh wie gemein, Mirko, entschuldige bitte, daß ich zufällig gerade nach dieser Zahl gefragt habe. Die Referenz von Andre ist eine sehr interessante Arbeit. Aber das führt uns jetzt zu weit.

Bald gibt es die nächste Aufgabe, die wird geometrisch sein.

Euer AlephBethGimel.

Die 1. Aufgabe – Summen von Quadratzahlen

8. November 2010

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Hier ist sie also, unsere erste Aufgabe:

Maximilian hat sich genauer mit Quadratzahlen befasst und behauptet, dass sich jede Zahl als Summe von höchstens vier Quadratzahlen schreiben lässt. Seine Mitschülerin Paulina glaubt das nicht. Maximilian schließt deshalb mit Paulina eine Wette ab: Wetten, dass ich dir alle Zahlen von 50 bis 60 als Summe von höchstens vier Quadratzahlen schreiben kann? Hilf Maximilian, die Wette zu gewinnen.

Nachdem wir Maximilian geholfen haben, seine Wette zu gewinnen, betrachten wir folgende Problemstellung: Wir wollen nun die Zahl 2011 also das Jahr der 50. Mathematik-Olympiade in Thüringen als Summe von möglichst wenigen Quadratzahlen schreiben.

Falls Du noch nicht weisst, was Quadratzahlen sind: Das sind die Zahlen, die durch die Multiplikation einer natürlichen Zahl mit sich selbst entstehen, also 1=1 \cdot 1,\ 4=2 \cdot 2,\ 9=3 \cdot 3 und so weiter.

Ziel ist, gemeinsam eine Lösung zu finden. Schreibt einfach Eure Ideen, Lösungsansätze, Nachfragen usw. als Kommentar auf. Und wenn wir die Aufgabe gelöst haben, können wir über Verallgemeinerungen und ähnliche Probleme diskutieren.

Hier ist übrigens ein Bild von unserer Jubiläumspostkarte mit der Aufgabe. Wenn Du keine abbekommen hast, kannst Du sie Dir einfach ausdrucken.

Postkarte kmit der Aufgabe

Die TLZ berichtet!

8. November 2010

Da waren die Medien schneller als geplant! Die TLZ hat in ihrer Ausgabe vom 4. November 2010 über unsere Aktion berichtet. In dem schönen Artikel wird auch schon unsere erste Aufgabe verraten. Aus diesem Grund haben wir uns entschlossen, die Aufgabe auch hier schon eher als geplant zu veröffentlichen und die Diskussion zu eröffnen. Wir wünschen euch allen viel Spaß und hoffen auf rege Beteiligung! Nutzt einfach die Kommentarfunktion zu den Beiträgen!

Heißer Start des Blogs steht fest!

30. September 2010

Wir werden die erste Aufgabe für unseren „Wir rechnen mit Dir“-Blog hier am 10. November 2010 veröffentlichen. Das ist der Tag der 2. Stufe der 50. Mathematik-Olympiade in Thüringen. Dort und an vielen anderen Orten werden wir auch Jubiläums-Postkarten mit der Aufgabe verteilen, ein Andenken, daß ihr euch unbedingt sichern solltet!

Also dann bis bald!

Willkommen

31. August 2010

Willkommen auf dem Blog „Wir rechnen mit Dir!“

„Mehr Mathe braucht das Land!“ Unter diesem Titel wollen wir Schüler, Lehrer und Eltern dazu einladen, gemeinsam an Aufgaben zu arbeiten und in diesem Blog die Lösungen sowie Erweiterungen der Aufgabe zu diskutieren. Anlaß für diese Idee ist die 50. Mathematik-Olympiade in Thüringen. Natürlich ist hier jeder willkommen mitzumachen.

Wir sind gespannt auf eure Lösungsideen. Vor allem wollen wir euch die Chance geben, die Lösungsideen auszutauschen und darüber in diesem Blog zu diskutieren. Ja vielleicht auch die Aufgabe weiter zu entwickeln. Wir werden gerne Fragen zu den Aufgaben und zur Mathematikolympiade beantworten. Auch verwandte Themen aus der Mathematik und ihrem Umfeld können hier angesprochen werden. Nutzt die Kommentarfunktion ausgiebig!

Mehr Informationen über Aktivitäten anläßlich des Olympiadejubiläums findet ihr bei www.matheolympiade-thueringen.de. Eine Ankündigung der Jubiläumsveranstaltung am 9. April 2011 findet ihr hier.


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